Freie Ladungsträger

Betrachtet werden als erstes die freien Elektronen. Im thermodynamischen Gleichgewicht ist die Wahrscheinlichkeit, einen Ladungsträger mit der Energie $E$ zu finden, gegeben durch die Fermi-Dirac-Verteilung [Kit95], [Sze81], [Sch87]

$$f ( \textbf{r}, \textbf{k} ) = \frac{1}{1+exp( \beta [E ( \textbf{r}, \textbf{k})-E_F])}$$ (1.19)

mit $\beta = 1 / k_B T$ und der Boltzmann-Konstanten $k_B$. Der Verlauf der Energie $E( \textbf{r}, \textbf{k})$ ist bestimmt durch die Bandstruktur $E_k$ im $\textbf{k}$-Raum, das Potential $\phi$ und den Bandkantenverlauf $E_{c0}$ der verwendeten Halbleitermaterialien inklusive der Bandkantensprünge beim abrupten Übergang von einem Material zu einem anderen (Heterostrukturen).

$$E ( \textbf{r}, \textbf{k} ) = E_k (\textbf{r}, \textbf{k}) + E_{c0} (\textbf{r}) - e \phi ( \textbf{r} )$$ (1.20)

Für die Bandstruktur $E_k (\textbf{r}, \textbf{k})$ gilt in parabolischer Näherung

$$E_k (\textbf{r}, \textbf{k}) = \frac{\hbar^2 k^2}{2 m_e^* (\textbf{r})}$$ (1.21)

mit der effektiven Masse der Elektronen $m_e^*$ und dem Planck'schem Wirkungsquantum $\hbar = h / 2 \pi$.

Die Zahl der Elektronen im Leitungsband ergibt sich durch Summation über alle besetzten Zustände $k$ innerhalb eines gedachten Volumens $V_k$ (zum Beispiel die Brillouin-Zone) unter Berücksichtigung der Spinentartung, wobei jeder Zustand gewichtet ist mit der entsprechenden Besetzungswahrscheinlichkeit der Fermi-Dirac-Verteilung

$$n^{3d} (\textbf{r}) = 2 \frac{1}{V_k} \sum_{k} f ( \textbf{r}, \textbf{k} ) \qquad.$$ (1.22)

Da die Zustände dicht liegen, wird im thermodynamischen Limes (große Volumina) der Übergang zum Quasikontinuum gemacht,

$$\sum_{k} \to \frac{V_k}{(2 \pi)^3} \int d^3 k \qquad,$$ (1.23)

damit formt sich (1.22) um zu

$$n^{3d} (\textbf{r}) = \frac{2}{(2 \pi)^3} \int_0^{\infty} f ( \textbf{r}, \textbf{k} ) \ d^3 k \qquad.$$ (1.24)

Wird von einer einfachen sphärischen Energieoberfläche ausgegangen, so kann man das Integral in (1.24) durch Transformation der Integrationsvariablen k überführen in ein Integral über die Energie $E( \textbf{r}, \textbf{k})$. Die Integration erfolgt über die gesamte, positive Energieachse, da wir von einem parabolischen Band ausgehen, bei dem sich die Zustände im Minimum konzentrieren. Obiges Integral konvergiert trotz der Annahme eines parabolischen Bandverlaufs, da die Fermi-Verteilung $f ( \textbf{r}, \textbf{k} )$ für $\lVert k \rVert \to \infty$ exponentiell gegen Null geht. Führt man die effektive Zustandsdichte im Leitungsband $N_c^{3d} (\textbf{r})$

$$N^{3d}_c (\textbf{r}) = 2 \left[ \frac{m_e^* (\textbf{r})}{2 \pi \hbar^2 \beta} \right]^{3/2}$$ (1.25)

mit der Kreiszahl $\pi$ ein und definiert mit der Gamma-Funktion $\Gamma ( x )$ [Bro81] das Fermi-Integral der Ordnung $j \in \mathbb{R}$ (siehe Anhang C)

$$F_j ( x ) := \frac{1}{\Gamma (j+1)} \int_0^{\infty} \frac{u^j}{1+exp(u-x)} \ du \qquad,$$ (1.26)

so läßt sich (1.24) mit dem Leitungsbandkantenverlauf $E_c (\textbf{r}) = E_{c0} - e \phi (\textbf{r})$ schreiben als

$$n^{3d} (\textbf{r}) = N^{3d}_c (\textbf{r}) F_{1/2} ( \beta [E_F - E_c (\textbf{r}) ]) \qquad.$$ (1.27)

Für die Zahl der besetzten Valenzband-Energieniveaus findet man mit dem Valenzbandkantenverlauf $E_v (\textbf{r}) = E_{v0} - e \phi (\textbf{r})$ und der effektiven Zustandsdichte im Valenzband $N_v^{3d} (\textbf{r})$ analog

$$p^{3d} (\textbf{r}) = N^{3d}_v (\textbf{r}) F_{1/2} ( \beta [E_v (\textbf{r}) - E_F] ) \qquad.$$ (1.28)

Beim Anlegen einer Spannung werden Quasi-Fermi-Niveaus eingeführt, welche das Fermi-Niveau des Gleichgewichts ersetzen (Abschnitt 1.2). Mit dem Quasi-Fermi-Niveau $E_{Fn}$ für Elektronen und $E_{Fp}$ für Löcher werden die Ausdrücke (1.27) und (1.28) zu

$$n^{3d} (\textbf{r}) = N^{3d}_c (\textbf{r}) F_{1/2} ( \beta [E_{Fn}(\textbf{r}) - E_c(\textbf{r})] )$$ (1.29)

$$p^{3d} (\textbf{r}) = N^{3d}_v (\textbf{r}) F_{1/2} ( \beta [E_v(\textbf{r}) - E_{Fp}(\textbf{r})] ) \qquad.$$ (1.30)