Strom-Gleichungen

Als sogenanntes nulltes Moment der Boltzmann-Gleichung (Herleitung siehe Anhang A) ergeben sich bei k-unabhängiger Relaxationszeit und parabolischen Bändern die Strom-Gleichungen (Kontinuitätsgleichungen), hier für Elektronen

$$\nabla \textbf{j}_n ( \textbf{r}, t ) - e \frac{\partial}{\partial t} n^{3d} ( \textbf{r}, t ) = e R_n ( \textbf{r}, t )$$ (1.12)

unter Berücksichtigung möglicher Generations-Rekombinations-Prozesse (gr-Prozesse) $R_n(\textbf{r},t)$ und der Stromdichte der Elektronen $\textbf{j}_n$.

Wird an ein Bauteil eine Spannung angelegt, so befinden sich die darin enthaltenen Ladungsträger nicht mehr im Gleichgewicht mit ihrer Umgebung. Für die zwei Sorten von Ladungsträgern (freie Elektronen im Leitungsband und Donator-Störstellen sowie freie Löcher im Valenzband und Akzeptor-Störstellen) wird je ein Quasi-Fermi-Niveau $E_{Fn}$, $E_{Fp}$ eingeführt, welches das Fermi-Niveau des Gleichgewichts $E_F$ ersetzt (Abschnitt 1.3). Dies erfolgt unter der Annahme, daß auch im Nicht-Gleichgewicht die Verteilung der besetzten Zustände in jedem Band an jedem Ort einer Fermi-Verteilung gehorcht und daß die Störstellen im jeweiligen Band im lokalen Gleichgewicht mit den freien Ladungsträgern sind [Lan91].

Das erste Moment der Boltzmann-Gleichung liefert einen Ausdruck für die Stromdichte (Herleitung siehe Anhang A) in Abhängigkeit vom Quasi-Fermi-Niveau, hier für Elektronen

$$\textbf{j}_n ( \textbf{r}, t ) = \mu_n (\textbf{r}) n^{3d} ( \textbf{r} , t ) \nabla E_{Fn} ( \textbf{r}, t )$$ (1.13)

mit der Beweglichkeit der Elektronen $\mu_n$ und dem Quasi-Fermi-Niveau der Elektronen $E_{Fn}$. Ohne angelegte Spannung liefert (1.13) das räumlich konstante Fermi-Niveau $E_F$.

Einsetzen von (1.13) in (1.12) ergibt eine Differentialgleichung zweiter Ordnung in $E_{Fn}$, für die Randbedingungen benötigt werden [Wüs95, Satz 24.7]. Die Stromgleichung bestimmt in späteren Rechnungen das Quasi-Fermi-Niveau, entsprechend läßt sich als Dirichlet-Randbedingung ($E_{Fn}$ auf $\partial V$ gegeben) formulieren

$$\left. E_{Fn} ( \textbf{r} ) \right\vert _{\textbf{r} \in \partial V} = C_{Fn}$$ (1.14)

mit der Konstanten $C_{Fn}$.

Wie schon im Abschnitt 1.1 nutzt man die konstanten Struktureigenschaften des Bauteils in lateraler Richtung aus und daher werden ausschließlich die eindimensionalen Strom-Gleichungen betrachtet, wodurch der Rechenaufwand wiederum reduziert wird. Es gilt

$$\partial_z j_n ( z, t ) - e \frac{\partial}{\partial t} n^{3d} ( z ) = e R_n(z,t)$$ (1.15)

$$\partial_z j_p ( z, t ) + e \frac{\partial}{\partial t} p^{3d} ( z ) = - e R_p(z,t)$$ (1.16)

und

$$j_n ( z , t ) = \mu_n (z) n^{3d} ( z , t ) \partial_z E_{Fn} ( z )$$ (1.17)

$$j_p ( z , t ) = \mu_p (z) p^{3d} ( z , t ) \partial_z E_{Fp} ( z )$$ (1.18)

mit der Stromdichte der Löcher $j_p$, deren Quasi-Fermi-Niveau $E_{Fp}$, Beweglichkeit $\mu_p$ und möglichen gr-Prozessen $R_p$.

Zur Lösung der Strom-Gleichungen fehlen jetzt noch Ausdrücke für die Ladungsträgerdichten, die im folgenden Abschnitt 1.3 abgeleitet werden.