Auger-Prozeß

Wie man Abbildung 3.5 entnehmen kann, benötigt man für die Augerrekombination zwei besetzte Zustände $E_k$, $E_{k'}$ im Leitungsband, einen unbesetzten Zustand $E_{QD}$ in den Quantenpunkten und einen unbesetzten Zustand $E_{k''}$ im Leitungsband. Die Besetzungswahrscheinlichkeiten für Quantenpunkte und für Energiezustände $E_k$ (vergleiche Kapitel 1.3.1) im Leitungsband sind $f_{QD}$ und $f_k$. Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten für diese Zustände sind nicht korreliert. Die Wahrscheinlichkeit $P^{einf}_{k k' k'' QD}$, daß die Zustände geeignet vorhanden sind, um die Augerrekombination zu ermöglichen, zerfällt also in das Produkt der einzelnen Besetzungswahrscheinlichkeiten [Sch89]

$$P^{einf}_{k k' k'' QD} = f_k f_{k'} (1-f_{QD}) (1-f_{k''}) \quad.$$ (3.1)

Analog folgt für die Stoßionisation, bei der zwei unbesetzte Zustände $E_k$, $E_{k'}$ im Leitungsband, ein besetzter Zustand $E_{QD}$ in den Quantenpunkten und ein besetzter Zustand $E_{k''}$ im Leitungsband benötigt werden,

$$P^{emiss}_{k k' k'' QD} = (1-f_k) (1-f_{k'}) f_{QD} f_{k''} \quad.$$ (3.2)

Abbildung 3.5: Auger-Prozesse an Quantenpunkten - a) Einfang (Augerrekombination) b) Emission (Stoßionisation), besetzte Zustände sind schwarz, freie weiß ausgefüllt.

Die zeitliche Änderung der Besetzungswahrscheinlichkeit der Quantenpunkte ist, wenn es sich um einen Auger-Prozeß handelt, gegeben durch die Summation aller möglichen Augerrekombinationen abzüglich der Summe aller möglichen Stoßionisationen. Jede Wahrscheinlichkeit wird dabei gewichtet mit $\bar T_{k k' \to QD, k''}$ beziehungsweise $\bar X_{QD, k'' \to k k'}$, den Koeffizienten für Einfang und Emission (Einheiten: $\sec^{-1}$). Es ergibt sich also

$$\partial_t f_{QD} = \sum_{k k' k''} \bar T_{k k' \to QD, k''} f_k f_k' ( 1 - f_{QD} ) \underbrace{(1 - f_k'')}_{1}$$

$${} - \sum_{k k' k''} \bar X_{QD, k'' \to k k'} f_{QD} \underbrace{( 1 - f_k )}_1 \underbrace{( 1 - f_k' )}_1 f_k'' \qquad,$$ (3.3)

wobei die Wahrscheinlichkeit, einen unbesetzten Zustand im Leitungsband zu finden, gleich eins gesetzt wird. Angenommen wird dabei, daß das Leitungsband grundsätzlich nicht voll besetzt ist, also immer geeignete freie Zustände vorhanden sind.

Die zu betrachtenden Halbleiterschichten der Feldeffekttransistoren mit Quantenpunkten sind undotiert, die Zahl der freien Ladungsträger also gering. Für die Nichtentartung läßt sich die Fermi-Verteilung ausdrücken durch

$$f_k = \frac{n}{N_c} e^{-\frac{E_k}{k_B T}} \qquad,$$ (3.4)

mit den freien Elektronen $n$ und der effektiven Zustandsdichte $N_c$ [Sch87].

Diese Besetzungswahrscheinlichkeit eingesetzt in (3.3) ergibt durch Summation über alle k-Zustände die mittleren Koeffizienten für Einfang und Emission $T_{\text{Auger}}$ und $X_{\text{Auger}}$,

$$T_{\text{Auger}} := \sum_{k k' k''} \bar T_{k k' \to QD, k''} \frac{e^{-\frac{E_k}{k_B T}} e^{-\frac{E_{k'}}{k_B T}}}{N_c^2}$$ (3.5)

$$X_{\text{Auger}} := \sum_{k k' k''} \bar X_{QD, k'' \to k k'} \frac{e^{-\frac{E_{k''}}{k_B T}}}{N_c}$$ (3.6)

und damit wird (3.3) zu

$$\partial_t f_{QD} = T_{\text{Auger}} n^2 ( 1 - f_{QD} ) - X_{\text{Auger}} f_{QD} n \qquad.$$ (3.7)

Im thermodynamischen Gleichgewicht (hier gekennzeichnet durch den Index ,,0``) gilt das Prinzip des ,,detaillierten Gleichgewichts`` (engl. ,,detailed balance``) [Sch87], Einfang- und Emissionsraten heben sich gegenseitig auf,

$$T_{\text{Auger}} n^2_0 ( 1 - f_{QD}^{0} ) - X_{\text{Auger}} f_{QD}^{0} n_0 =$$ 0 (3.8)

$$\Leftrightarrow T_{\text{Auger}} n_0 ( 1 - f_{QD}^{0} ) = X_{\text{Auger}} f_{QD}^{0}\qquad.$$ (3.9)

Ferner lassen sich die Besetzungswahrscheinlichkeiten für das Gleichgewicht schreiben als Fermi-Verteilung zum einheitlichen Fermi-Niveau $E_F$ ( $\Delta E > 0$: Abstand Energieniveau der Quantenpunkte zum Leitungsband)

$$f_{QD}^{0} = \frac{1}{1+ e^{\frac{E_c^{0} - \Delta E - E_F}{k_B T}}}$$ (3.10)

$$1 - f_{QD}^{0} = \frac{ e^{\frac{E_c^{0}-\Delta E - E_F}{k_B T}} }{1+ e^{\frac{E_c^{0}-\Delta E - E_F}{k_B T}}}$$ (3.11)

und die Dichte der Elektronen im Leitungsband

$$n_0 = N_c e^{\frac{E_F - E_c^{0}}{k_B T}} \qquad.$$ (3.12)

Setzt man dies alles ein in (3.9), so ergibt sich

$$T_{\text{Auger}} N_c e^{\frac{E_F-E_c^{0}}{k_B T}} \frac{ e^{\frac{E_c^{0}-\Delta E - E_F}{k_B T}} }{1+ e^{\frac{E_c^{0}-\Delta E - E_F}{k_B T}}} = X_{\text{Auger}} \frac{1}{1+ e^{\frac{E_c^{0}-\Delta E - E_F}{k_B T}}}$$ (3.13)

$$\Leftrightarrow T_{\text{Auger}} N_c e^{\frac{- \Delta E}{k_B T}} = X_{\text{Auger}} \qquad.$$ (3.14)

Mit $n_1 := N_c e^{\frac{-\Delta E}{k_B T}}$ gilt, unabhängig von den Konzentrationen, für die Koeffizienten von Einfang und Emission der Zusammenhang

$$\boxed{ X_{\text{Auger}} = T_{\text{Auger}} n_1}\qquad.$$ (3.15)

Unter der Voraussetzung, daß die Koeffizienten der Generations-Rekombinations-Prozesse (gr-Prozesse) konstant bleiben, auch wenn das System aus dem Gleichgewicht gebracht wird, kann (3.15) verwendet werden, um den Koeffizienten der Emission in (3.7) zu eliminieren [Sch87], damit gilt

$$\partial_t f_{QD} = T_{\text{Auger}} n^2 ( 1 - f_{QD} ) - T_{\text{Auger}} f_{QD} n n_1 \qquad.$$ (3.16)

Der Übergang zur Ratengleichung erfolgt durch Multiplikation von (3.16) mit $\alpha$ (Entartung des Quantenpunkt-Energieniveaus) und $N_{QD}$ (Flächendichte der Quantenpunkte). Die Rate der Prozesse an den Quantenpunkten hat die Einheit Zahl pro Fläche und Zeit. Die Umrechnung der dreidimensionalen Elektronendichte $n$ in eine zweidimensionale Elektronendichte $n^{2d}$ erfolgt durch Multiplikation mit der Höhe der Quantenpunkte, also $n^{2d} := d_{QD} n$. Dabei wird davon ausgegangen, daß nur Elektronen aus der Umgebung der Quantenpunkte am Prozeß partizipieren. Es wird (3.16) zu

$$\partial_t n^{QD} = T_{\text{Auger}}^{2d} n^{2d} n^{2d} \underbra... ...{QD} )}_{p^{QD}} - \underbrace{\alpha N_{QD} f_{QD}}_{n^{QD}} T n^{2d} n_1^{2d}$$ (3.17)

$$\Leftrightarrow \partial_t n^{QD} = T_{\text{Auger}}^{2d} n^{2d} ( n^{2d} p^{QD} - n^{QD} n_1^{2d} ) \qquad.$$ (3.18)