Berechnung der Kapazität

Die Ladung Q innerhalb eines zu betrachtenden Volumens V der Heterostruktur ergibt sich nach dem physikalischen Gauß'schen Satz [Jac75] zu

$$\frac{1}{\epsilon \epsilon_0} Q = \int_V \mathrm{div} \textbf{E} \ d^3 r \qquad.$$ (2.16)

Abbildung 2.5: Ladungsdichte $\rho (z)$ und daraus resultierende Feldstärke $E(z)$ am $pn$-Übergang.

Am Ort der Raumladungszone $z_c$ ist die Leitfähigkeit am geringsten, der Widerstand also am größten. Dieser Bereich wirkt wie ein Isolator, daher wird die Raumladungszone auch Sperrschicht genannt. Gemäß (1.2) ist $z_c$ auch der Ort des maximalen Feldes $E$ - siehe Abbildung 2.5. Das Bauteil läßt sich deshalb bei $z_c$ in zwei Leiter zerlegt denken, die beide die Ladung $Q = \left\vert Q_1 \right\vert = \left\vert Q_2 \right\vert$ tragen, dargestellt in Abbildung 2.6. Bei einer $pn$-Diode also am $p^+n$- beziehungsweise $n^+p$-Übergang und bei der Schottky-Diode am Schottky-Kontakt.

Abbildung 2.6: Zerlegung des Bauteils in zwei Leiter.

Unsere Simulation ist eindimensional, das heißt, daß das Feld $E$ in lateraler Richtung verschwindet, da dort $\phi=const$ gilt. In der mehrdimensionalen Integralrechnung kann man ein Volumenintegral, hier (2.16), überführen in ein eindimensionales Integral der stetigen Querschnittsfunktion des zu integrierenden Volumens, die in diesem Fall gleich der Diodenfläche A ist [Wüs95, Satz 19.10]. Zieht man die konstante Querschnittsfläche A vor das Integral und integriert bei der $pn$-Diode von dem Ohm'schen Kontakt (z = 0) hin zu der Raumladungszone ($z_c$) beziehungsweise bei der Schottky-Diode vom Ohm'schen Kontakt (z = 0) zum Schottky-Kontakt ($z_c$), so ergibt sich für (2.16)

$$\frac{1}{\epsilon \epsilon_0} Q = A \int_0^{z_c} \partial_z E \ dz$$ (2.17)

$$= A (\left. E \right\vert _{z_c} - \left. E \right\vert _{0} )$$ (2.18)

$$= A \left\vert \partial_z \phi \right\vert _{z_c}$$ (2.19)

mit $\left. E \right\vert _{0} = 0$, da das Feld an einem Ohm'schen Kontakt verschwindet.

Es gilt also [Wet00]

$$\boxed{ Q = \epsilon \epsilon_0 A \left\vert \partial_z \phi \right\vert _{z_c} }\qquad.$$ (2.20)