Fitparameter, Fitmethode

Durch den Vergleich von experimentell bestimmten CV-Kennlinien mit errechneten sollen Aussagen über die Energieniveaus der einbauten Quantenpunkte und deren inhomogene Verbreiterung gemacht, sowie die Wechselwirkung der Quantenpunkte mit ihrer Umgebung untersucht werden.

Die errechneten Kennlinien hängen von einer Vielzahl von Parametern ab, die aus dem Experiment für die Berechnung nicht hinreichend genau bekannt sind. Hierzu zählen

• gewachsene Schichtdicken
• Dotierungskonzentrationen ($p^+$, $n^+$, $p^-$, $n^-$, ...)
• Flächendichte der Quantenpunkte
• Lage der Energieniveaus und deren Verbreiterung .

Die Anpassung der errechneten Kurve an die experimentelle erfolgt durch eine Fit-Routine. Aufgrund der hohen Zahl der Fitparameter sind herkömmliche Verfahren, wie zum Beispiel die Gradienten-Methode, ungeeignet. Ein bekanntes Konzept zur Optimierung großer Parameterscharen sind die sogenannten Evolutionsstrategien (siehe Anhang B).

Grundlage der von Rechenberg et al. in den Siebzigern entwickelten Evolutionsstrategie ist das Darwinistische Prinzip der Mutation und Selektion [Rec94]. Die anzufittenden Parameter werden mutiert, in dem man durch Addition von stochastisch bestimmten Zahlen neue Parameter erzeugt. Die Güte einer Parameterschar ist gegeben durch die Abweichung der zugehörigen CV-Kennlinie von der experimentellen Kurve, in unserem Fall die Summe der Fehlerquadrate.

Ausgehend von einer Startschar Parameter, dem Elter, werden durch Mutation $\lambda$ Kinder erzeugt. Die Selektion erfolgt dadurch, daß man die Güte aller Kinder bestimmt und das beste zum Elter einer neuen Generation macht. Alle anderen Parameterscharen werden verworfen. In diesem Punkt unterscheidet sich die Evolutionsstrategie allerdings grundsätzlich von dem von Darwin propagierten Prinzip, nach dem mehr oder weniger alle Kinder wieder Elter einer neuen Generation sind. In der Terminologie der Biologie ausgedrückt, erfolgt streng genommen bei der Evolutionsstrategie eine Zucht zu der optimalen Parameterschar, die sich wiederum durch eine kleinstmögliche Abweichung der zugehörigen CV-Kennlinien von den experimentellen Werten definiert.

Die Praxis hat gezeigt, daß auch die Evolutionsstrategie nur bedingt zum Erfolg führt. Ein Grund hierfür ist die anscheinend beträchtliche Anzahl von Nebenminima, die das Fit-Problem einer berechneten CV-Kennlinie an eine experimentelle beinhaltet. Dadurch konvergiert die Routine - daß heißt die Variation der Parameter wird so klein, daß sich die berechnete Kurve nicht mehr ändert - bevor sie das eigentliche Minimum, den bestmöglichen Fit an die gemessene Kennlinie, erreicht. In so einem Fall hilft nur neu starten. Damit kommt ein anderes Problem ins Spiel: die endliche Rechenzeit, die zur Verfügung steht. Geht man von 20 Kindern in einer Generation aus, so benötigt das Auswerten dieser Generation auf einem herkömmlichen Computer eine Stunde. Bei einem Minimum von 200 Generationen, um ein konvergiertes Ergebnis zu erhalten, bedarf es bereits einer Woche Rechenzeit. In der Praxis hat es sich daher bewährt, die Parameter vor dem Start eines Fits per Hand zu optimieren. So kann vor allem auch ausgeschlossen werden, daß Unzulänglichkeiten des Modells (zum Beispiel konstante Dotierungsprofile versus Schwankungen in der Dotierungskonzentration, siehe auch Abschnitt 2.6.1) einen gelungenen Fit verhindern.