Lösung der Strom-Gleichungen

Mittels der Strom-Gleichungen werden die Quasi-Fermi-Niveaus im Bauteil bestimmt. Die Bewegung der freien Elektronen und Löcher wird als sehr schnell angenommen, die zeitliche Abhängigkeit in den Strom-Gleichungen daher vernachlässigt. Es gilt Gleichung (1.15), hier wieder für Elektronen

$$0 \overset{!}{=} \partial_t n^{3d} (z) = \frac{1}{e} \partial_z j_n (z) - R_n (z) \qquad.$$ (1.46)

Im folgenden soll eine Methode zur Lösung der Strom-Gleichungen abgeleitet werden, dabei erfolgt die daraus resultierende Berechnung der Quasi-Fermi-Niveaus in mehreren Iterationsschritten. Zuerst ergibt die Integration von (1.46) vom linken Kontakt des Bauteils am Ort $z_L = 0$ bis zu einem Ort im Bauteil $z$

$$\partial_z j_n (z) = e R_n(z)$$ (1.47)

$$\Rightarrow \int_0^{z} \partial_{z'} j_n (z') \ dz' = \int_0^{z} e R_n (z') \ dz'$$ (1.48)

$$\Rightarrow \left. j_n \right\vert _z - \left. j_n \right\vert _{0} = \underbrace{\int_0^{z} e R_n(z') \ dz'}_{ =: H(z)}$$ (1.49)

$$\Leftrightarrow j_n ( z ) = j_{n0} + H ( z )\qquad.$$ (1.50)

Der Strom am Ort z ist also gegeben durch den Strom am linken Kontakt plus den Strom entstehend aus gr-Prozessen.

Durch Integration von (1.17) über die gesamte Struktur wird $j_{n0}$ bestimmt

$$j_n ( z ) = \mu_n ( z ) n^{3d} ( z ) \partial_z E_{Fn} ( z )$$

$$\Rightarrow \int_0^{z_R} \frac{j_n(z')}{ \mu_n ( z' ) n^{3d} ( z' ) } \ dz' = \int_0^{z_R} \partial_{z'} E_{Fn} ( z' ) \ dz'$$ (1.51)

$$\overset{(\ref{StromZwischenergebnis}... ...rrow} \int_0^{z_R} \frac{j_{n0} + H ( z' )}{ \mu_n ( z' ) n^{3d} ( z' ) } \ dz' = \left. E_{Fn} \right\vert _{z_R} - \left. E_{Fn} \right\vert _{0}$$ (1.52)

$$\Leftrightarrow j_{n0} = \frac{\left. E_{Fn} \right\vert _{z_R} - \left. E_{Fn} \right\ver... ...3d} ( z' ) } \ dz'} {\int_0^{z_R} \frac{1}{ \mu_n ( z' ) n^{3d} ( z' ) } \ dz'}$$ (1.53)

mit dem Ort des rechten Kontakts $z_R$. $\left. E_{Fn} \right\vert _{z_R}$ und $\left. E_{Fn} \right\vert _{0}$ sind die Dirichlet-Randbedingungen (1.14) der Strom-Gleichung, die wiederum durch den Spannungsunterschied $U$ gegeben sind.

Das Quasi-Fermi-Niveau am Ort z ergibt sich schließlich durch Integration von (1.17) vom linken Kontakt des Bauteils am Ort $z_L = 0$ bis z

$$j_n ( z ) = \mu_n ( z ) n^{3d} ( z ) \partial_z E_{Fn} ( z )$$ (1.54)

$$\Rightarrow \int_0^{z} \frac{j_n(z')}{ \mu_n ( z' ) n^{3d} ( z' ) } \ dz' = \int_0^{z} \partial_z' E_{Fn} ( z' ) \ dz'$$ (1.55)

$$\overset{(\ref{StromZwischenergebnis}... ...tarrow} \int_0^{z} \frac{j_{n0} + H ( z' )}{ \mu_n ( z' ) n^{3d} ( z' ) } \ dz' = \left. E_{Fn} \right\vert _{z} - \left. E_{Fn} \right\vert _{0}$$ (1.56)

$$\Leftrightarrow \boxed{ E_{Fn} (z) = j_{n0} \int_0^{z} \frac{1}{ ... ...}{ \mu_n ( z' ) n^{3d} ( z' ) } \ dz' + \left. E_{Fn} \right\vert _{0} }\qquad.$$ (1.57)

Einsetzen des 1. Moments der Boltzmann-Gleichung (1.17) in das 0. Moment der Boltzmann-Gleichung (1.15) und zweimaliges Integrieren der resultierenden, inhomogenen Differentialgleichung zweiter Ordnung in $E_{Fn}$ liefert somit bei gegebenen Randbedingungen das Quasi-Fermi-Niveau der Ladungsträger.

Für Löcher kann man das Lösungsverfahren analog formulieren, Ausgangspunkt ist dabei die stationäre Strom-Gleichung für Löcher

$$\partial_z j_p ( z, t ) + e \partial_t p^{3d} ( z ) = - e R_p(z,t) \qquad.$$ (1.58)