Modellierung

Die in Kapitel 1 dargestellten Grundlagen werden jetzt zu einem Programm zusammengesetzt, das einen Feldeffekttransistor mit Quantenpunkten beschreibt.

Genau wie in Kapitel 2 ist die Simulation eindimensional in Wachstumsrichtung (negative z-Achse). In dem verwendeten Modell [Wet98] sind die Grundlage zur Beschreibung eines Bauteils die eindimensionale Poisson-Gleichung

$$\epsilon_0 \partial_z \left[ \epsilon ( z ) \partial_z \phi ( z ) \right] = - \rho ( \phi ( z ) ) \qquad,$$ (3.29)

und die eindimensionale Strom-Gleichung für Elektronen (das Bauteil ist unipolar)

$$0 \overset{!}{=} \partial_t n^{3d} (z) = \frac{1}{e} \partial_z j_n (z) - R_n (z) \qquad.$$ (3.30)

Mit der charakteristischen Funktion $\chi_{QD}$, die eins ist bei den Quantenpunkten und null im restlichen Bereich des Bauteils,

$$\chi_{QD} ( z ) := \left\{ \begin{array}{c} 1 \quad (z \in \t... ...\quad (z \not\in \text{Quantenpunktschicht}) \end{array}\right.$$ (3.31)

gilt für die Rate $R_n$

$$R_n ( z ) = \chi_{QD} ( z ) \partial_t n_{QD} \qquad.$$ (3.32)

Verwendet werden die entsprechenden Ratengleichungen, für den Auger-Prozeß

$$\partial_t n^{QD} = T^{2d}_{\text{Auger}} n^{2d} ( n^{2d} p^{QD} - n^{QD} n_1^{2d} ) \quad$$ (3.33)

beziehungsweise für Phonon-assistierte Prozesse

$$\partial_t n^{QD} = T_{\text{Phonon}}^{2d} ( n^{2d} p^{QD} - n^{QD} n_1^{2d} ) \qquad.$$ (3.34)

Die Ladungsträgerdichte in (3.29) setzt sich zusammen aus

$$\rho ( z ) = - e [ N_D^+ (z) - n^{3d} ( z ) - \chi_{QD} ( z ) n^{QD} ] \qquad.$$ (3.35)

Entsprechend der Schaltung in Abbildung 3.2 wird die gesamte Gatespannung $V_g$ am Schottky-Kontakt angelegt (siehe auch Kapitel 1). Die dortige Dirichlet-Randbedingung für das Potential $\phi$ lautet daher $\phi_R = V_g$. Bei der $\delta$-Dotierung gibt deren Ladung ein Feld vor, die resultierende Neumann-Randbedingung ist $-\epsilon_0 \epsilon_L \partial_z \phi_L = \sigma_{\delta} ( \phi_L )$. Im Bereich des Al$_{0.25}$Ga$_{0.75}$As wird angenommen, daß kein Strom fließt, das Quasi-Fermi-Niveau $E_{Fn}$ ist hier folglich null. Am Übergang Al$_{0.25}$Ga$_{0.75}$As-GaAs gilt für $E_{Fn}$ als Dirichlet-Randbedingung $E_{Fn,L} = 0$. Am Ort des Schottky-Kontakts ist der Abstand Leitungsbandkante zum Quasi-Fermi-Niveau durch die Schottky-Barrierenhöhe $E_s$ gegeben. Als Nullpunkt der Energie wird das Valenzband im GaAs gewählt, damit ergibt sich die Lage des Leitungsbandes durch das Bandgap $E_G$. Die Dirichlet-Randbedingung für das Quasi-Fermi-Niveau am Schottky-Kontakt lautet bei angelegter Spannung damit $E_{Fn,R} = E_{c0} - e \phi_R - E_s$.

Selbstkonsistentes Lösen der Poisson-Gleichung (3.29) liefert das Potential $\phi$ im Bauteil. Mit $\phi$ und der daraus resultierenden Elektronendichte $n^{3d}$ wird die Strom-Gleichung (3.30) gelöst, das Quasi-Fermi-Niveau der Elektronen $E_{Fn}$ bestimmt. Für $R_n$ wird dabei der Wert des vorhergehenden Spannungsschritts übernommen beziehungsweise beim allerersten Rechenschritt wird $R_n$ gleich null gesetzt. Mit Potential $\phi$ und Quasi-Fermi-Niveau $E_{Fn}$ läßt sich nach (3.33) beziehungsweise (3.34) jetzt eine Rate $R_n ( z ) = \chi_{QD} (z) \partial_t n^{QD}$ ausrechnen. Es wird erneut die Poisson-Gleichung (3.29) und die Strom-Gleichung (3.30) unter Berücksichtigung der Rate $R_n$ gelöst. Diese Rechenschritte werden wiederholt, bis aufeinander folgendes Lösen von (3.29), (3.30) und (3.33) beziehungsweise (3.34) das Ergebnis nicht mehr verändert. Die Ladungsträgerdichte $n^{QD}$ in den Quantenpunkten wird dabei nicht mitvariiert.

Die Rate $R_n$ aus der zu einer angelegten Gatespannung $V_g$ konvergierten Lösung bestimmt den Zeitschritt $\Delta t$. Pro Schritt soll sich die Ladung in den Quantenpunkten maximal um einen vorzugebenden Wert $\Delta n^{QD}$ ändern. Aus den Experimenten ist eine Sweep-Zeit von ,,mehreren Sekunden`` bekannt [Yus97], woraus man auf eine ungefähre Sweep-Geschwindigkeit zurückschließen kann. Die Spannungsachse wird zerlegt in Teilintervalle $\Delta V_g$, zu jedem Teilintervall ergibt sich aus der Sweep-Geschwindigkeit eine Verweildauer $\Delta t_{V_g}$.

Bei positivem Vorzeichen der Rate $R_n$ werden die Quantenpunkte mit Elektronen besetzt. Aus der Rate und $\Delta n^{QD}$ wird ein Zeitschritt $\Delta t$ errechnet. Es muß dabei zwischen zwei Möglichkeiten unterschieden werden:

• der Zeitschritt $\Delta t$ beziehungsweise die Summe aller Zeitschritte dieses Spannungsintervalls sind kleiner als die Verweildauer $\Delta t_{V_g}$, dann wird die Ladung in den Quantenpunkten $n^{QD}$ erhöht gemäß $n^{QD} \to n^{QD} + \Delta n^{QD}$, die neue Systemzeit $t$ ergibt sich aus $t \to t + \Delta t$; mit dem neuen $n^{QD}$ werden wieder (3.29) und (3.30) gelöst, der nächste Zeitschritt folgt
• der Zeitschritt $\Delta t$ beziehungsweise die Summe aller Zeitschritte dieses Spannungsintervalls sind größer als die Verweildauer $\Delta t_{V_g}$, dann wird die Ladung in den Quantenpunkten $n^{QD}$ erhöht um den Anteil von $\Delta n^{QD}$, der der Differenz aus aktuellem Zeitschritt $\Delta t$ beziehungsweise der Summe aller Zeitschritte dieses Spannungsintervalls und der Verweildauer $\Delta t_{V_g}$ entspricht; die Systemzeit $t$ wird auf das Ende des Intervalls $\Delta t_{V_g}$ gesetzt, mit dem neuen $n^{QD}$ und dem nächsten Spannungsintervall $V_g \to V_g + \Delta V_g$ werden wieder (3.29) und (3.30) für den nächsten Zeitschritt gelöst.

Bei negativem Vorzeichen der Rate $R_n$ verlassen die Elektronen die Quantenpunkte. Das Vorgehen ist identisch zum eben skizzierten, nur wird die Ladung $n^{QD}$ in den Quantenpunkten erniedrigt und nicht erhöht.

Um die Kennlinie zu erhalten, startet man bei $0\ V$ und $t = 0\ sec$. Da man davon ausgehen kann, daß vor der Messung das Bauteil beliebig lange Zeit hat, um ins Gleichgewicht zu gelangen, ergibt sich die initiale Besetzung der Quantenpunkte aus der Ratengleichung mittels (3.33) und (3.34) nach $\partial _t n^{QD} = 0$ (die initiale Besetzung ist bei beiden Prozessen gleich). Die Gatespannung wird nach dem vorgestellten Rechenweg durchgefahren bis zu einem Maximalwert, dann dreht sich das Vorzeichen der Spannungsänderung um. Die Spannung wird in entgegengesetzter Richtung hin zu ihrem Ausgangspunkt durchgefahren. Integration der Elektronendichte über den Bereich der z-Achse, wo sich das 2DEG erstreckt, liefert zu jeder Gatespannung $V_g$ die Elektronenkonzentration $N_s$ im zweidimensionalen Elektronengas.