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Besetzung der Quantenpunkte

Bestimmt werden soll zuerst die Ladungsträgerdichte in Quantenpunkten, die so wenig Ladungsträger speichern können, daß Vielteilchen-Effekte vernachlässigbar sind (vergleiche [Kap00b]). Dafür werden diskrete Energieniveaus $ E_j$ mit Entartung $ \alpha_j$ verwendet, die durch Größenfluktuationen der Quantenpunkte inhomogen verbreitert sind. Die Verbreiterung wird durch eine Gaußverteilung approximiert mit einem full-width-at-half-maximum (FWHM) $ \triangle E_j$.


Nimmt man an, daß die Quantenpunkte im Quasi-Gleichgewicht mit den Elektronen im Leitungsband sind und mit einer Flächendichte $ N_{QD}$ (Einheit: $ cm^{-2}$), einer Dicke $ d_{QD}$ der Quantenpunktschicht beziehungsweise der Höhe der Quantenpunkte, kann die Dichte pro Volumeneinheit der in den Quantenpunkten lokalisierten Elektronen geschrieben werden als

$\displaystyle n^{QD} = \frac{N_{QD}}{d_{QD}} \sum_j \frac{\alpha_j}{\sigma_j \s...
...+ E_j)^2}{2 \sigma_{j}^2} )}{1+exp(\beta \lbrack E - \bar E_{Fn} \rbrack)} \ dE$ (2.7)

mit $ \sigma_j = \triangle E_j / \sqrt{8 \ ln2} $, $ \bar E_{Fn} $ und $ \bar E_{c}$ bezeichnen Quasi-Fermi-Niveau und mittlere Leitungsbandkante im Zentrum der Quantenpunkte [Wet00].


Analog ergibt sich für Löcher

$\displaystyle p^{QD} = \frac{N_{QD}}{d_{QD}} \sum_j \frac{\alpha_j}{\sigma_j \s...
...- E_j)^2}{2 \sigma_{j}^2} )}{1+exp(\beta \lbrack \bar E_{Fp} - E \rbrack)} \ dE$ (2.8)

mit der mittleren Valenzbandkante $ \bar E_v$ sowie Quasi-Fermi-Niveau $ \bar E_{Fp}$ im Zentrum der Quantenpunkte.


Für Quantenpunkte, die sehr viele Ladungsträger aufnehmen können, findet man in der Literatur als Modell für die Besetzung die Energieniveaus eines harmonischen Oszillators [Kap00b], [Tar98]. Exemplarisch soll dieses Modell zur Untersuchung von Ge-Quantenpunkten eingebettet in eine Silizium-Schottkydiode verwendet werden. Diese Ge-Quantenpunkte haben im Vergleich zu anderen Quantenpunkten eine sehr große Grundfläche. Man separiert die z-Abhängigkeit der Quantisierung und nähert das Potential über der Grundfläche durch einen zweidimensionalen harmonischen Oszillator. Die Energieniveaus ergeben sich aus den Lösungen des harmonischen Oszillators $ E_n = \hbar \omega ( n + \frac{1}{2})$ mit jeweiliger Entartung $ (n+1)$ [Lan85], die Dichte der Löcher in den Ge-Quantenpunkten läßt sich schreiben als

$\displaystyle p^{QD} = \frac{2 N_{QD}}{d_{QD}} \sum_n \frac{(n + 1)}{1 + exp( \beta \lbrack - \bar E_v - V_0
+ E_n + \bar E_{Fp})}$     (2.9)
$\displaystyle \omega = \sqrt{\frac{2 V_0}{r^2m_h^*} }$     (2.10)

mit $ V_0$ und $ r$ als Tiefe und Radius des harmonischen Potentials (siehe Abbildung 2.4) und der effektiven Masse der Löcher $ m_h^*$. Summiert wird über alle gebundenen Zustände $ E_n$.

Abbildung 2.4: Harmonischer Potentialverlauf.
\includegraphics[draft=false, width=5cm]{bilder/harmonosz.epsi}


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Alexander Rack 2002-05-25