Hopf-Bifurkation	
dynamisches System :    (∂_t) z  = 
          F[z (t),  t]
                                          
            (z ϵ (ℝ^2))             mit:                                     (∂_t) x=μ x - y - ((x^2) + (y^2)) x\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
        ∂\_t\ y = μ\ y + x - \((x\^2 + y\^2)\) y\)
	
	Fixpunkt bestimmen:

\(eqns
       = {0 == μ\ x - y - \((x\^2 + y\^2)\) x, 
        0 == μ\ y + x - \((x\^2 + y\^2)\) y}; 
Solve[eqns, {x, y}]\)

Determinante der Jacobi-Matrix J:

Simplify[Det[(({{(∂_x) (μ x - y - ((x^2) + (y^2)) x), (∂_y) (μ x - y - ((x^2) + (y^2)) x)}, {(∂_x) (μ y + x - ((x^2) + (y^2)) y), (∂_y) (μ y + x - ((x^2) + (y^2)) y)}}))]]

Fixpunkt einsetzen:

Simplify[
      (1 + 3 (x^4) + 3 (y^4) + (x^2) (6 (y^2) - 4 μ) - 
            4 (y^2) μ + (μ^2)) /. {x -> 0, y -> 0}]

Eigenwerte der Jacobi-Matrix J:

Eigenvalues[(({{(∂_x) (μ x - y - ((x^2) + (y^2)) x), (∂_y) (μ x - y - ((x^2) + (y^2)) x)}, {(∂_x) (μ y + x - ((x^2) + (y^2)) y), (∂_y) (μ y + x - ((x^2) + (y^2)) y)}}))]

Fixpunkt einsetzen:

Simplify[
      (-2 (x^2) - 2 (y^2) - 
            (Sqrt[-1 + (x^4) + 2 (x^2) (y^2) + (y^4)]) + μ) /. {x -> 0, 
          y -> 0}]Simplify[
      (-2 (x^2) - 2 (y^2) + 
            (Sqrt[-1 + (x^4) + 2 (x^2) (y^2) + (y^4)]) + μ) /. {x -> 0, 
          y -> 0}]

Spur der Jacobi-Matrix J:

Simplify[
      (∂_x) (μ x - y - ((x^2) + (y^2)) x) + 
        (∂_y) (μ y + x - ((x^2) + (y^2)) y)]

Fixpunkt einsetzen:

Simplify[(-4 (x^2) - 4 (y^2) + 2 μ) /. {x -> 0, y -> 0}]

betrachte μ < 0:

        => Realteile sämtlicher Eigenwerte der Jacobi-Matrix
          sind negativ, der Fixpunkt ist also asymptotisch stabil
           
        => die Determinante der Jacobi-Matrix ist größer Null,
          die Spur kleiner Null, es gilt (Sp(J))^2 < 4 Det(J),
          es handelt sich also um einen stabilen Fokus

betrachte μ > 0:

        => Realteile sämtlicher Eigenwerte der Jacobi-Matrix
          sind positiv, der Fixpunkt ist also instabil
           
        => die Determinante der Jacobi-Matrix ist größer Null,
          die Spur ebenfalls, es gilt (Sp(J))^2 < 4 Det(J),
          es handelt sich also um einen instabilen Fokus

betrachte μ = 0:

        => die Spur der Jacobi-Matrix ist Null, die Determinante
          positiv, die Eigenwerte rein imaginär,
          ein periodischer Orbit (Grenzzyklus) entsteht